Telefonumu İstanbul metrosu için bir laboratuvar aletine çevirdim.

\(\delta\theta\) kadar bir eğiklik hatası, ölçülen ivmeye yerçekiminden bir dilim ekliyor:

$$\delta a = g\,\sin\delta\theta \;\approx\; g\,\delta\theta, \qquad \delta\theta = 0.1^\circ \;\Rightarrow\; \delta a \approx 0.017\ \mathrm{m/s^2} \;\Rightarrow\; \delta v \approx 1.5\ \mathrm{m/s}\ \text{after } 90\ \mathrm{s}$$

Bu yüzden hata bir sapma artı yavaş bir kayma olarak modellenip, \(e(t) = c_0 + c_1 t\), integralden çıkarılıyor:

$$v(t) = A(t) - c_0\,t - \tfrac{1}{2}\,c_1\,t^2, \qquad A(t) = \int_0^{t} a_{\mathrm{m}}(\tau)\,\mathrm{d}\tau$$

Aralarında \(L\) mesafe olan istasyonlar arasındaki \(T\) süreli her sefer için iki gerçek biliniyor: tren iki uçta da duruyor ve hat mesafesini kat ediyor. Bunlar \(c_0\) ve \(c_1\)'i tam olarak belirliyor:

$$v(T) = 0, \qquad \int_0^{T} v(t)\,\mathrm{d}t = L \quad\Longrightarrow\quad \begin{bmatrix} T & \tfrac{1}{2}T^2 \\[2pt] \tfrac{1}{2}T^2 & \tfrac{1}{6}T^3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_0 \\ c_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A(T) \\ \int_0^{T} A\,\mathrm{d}t - L \end{bmatrix}$$

\(|c_1|\,T\) — hatanın sefer boyunca ne kadar değişmesi gerektiği — onu notlandırıyor: \(0.15\ \mathrm{m/s^2}\) altı iyi, \(0.6\) altı kaba, üstünde telefon oynamış demektir ve sefer atılıyor. Aşağıdaki seferde değeri 0.082.

Jiroskop, telefonun kendi eksenlerinde dönmeyi, \(\boldsymbol{\omega}\), ölçüyor. Ölçülen "yukarı" yönüne, \(\hat{\mathbf{g}}\), izdüşürülüp tren dururken okunan sapma \(b\) çıkarılınca trenin dönüş hızı oluyor. Hızla birlikte integrali alınınca planı çiziyor:

$$\psi(t) = \int_0^{t} \big(\boldsymbol{\omega}\cdot\hat{\mathbf{g}} - b\big)\,\mathrm{d}\tau, \qquad x(t) = \int_0^{t} v\cos\psi\,\mathrm{d}\tau, \qquad y(t) = \int_0^{t} v\sin\psi\,\mathrm{d}\tau$$

Yükseklik hidrostatikten geliyor; yalnızca peronun durgun havasında okunuyor:

$$\Delta h = -\frac{\Delta p}{\rho\,g}, \qquad \rho \approx 1.2\ \mathrm{kg/m^3} \;\Rightarrow\; 1\ \mathrm{m} \leftrightarrow 11.8\ \mathrm{Pa}$$

Hareket eden trenin yanından akan havanın bir dinamik basıncı, \(q\), var. Bernoulli'ye göre daha hızlı hava daha düşük statik basınç demek; yani vagonun basıncı \(q\) ile orantılı düşmeli:

$$q = \tfrac{1}{2}\,\rho\,v^2, \qquad p_{\mathrm{car}}(t) - p_{\mathrm{line}}(t) \;\approx\; -\,C\,q(t)$$

Burada \(p_{\mathrm{line}}\), iki peron okuması arasındaki düz çizgi. Hattın azami hızında \(q\) zaten 296 Pa — 25 m yüksekliğe eşit. İstasyonlar arasındaki eğim bu yüzden hareket eden bir trende barometreden okunamıyor.

Uzun düz bir \(I\) akımının \(r\) uzaklıktaki alanı:

$$B = \frac{\mu_0\, I}{2\pi\, r}, \qquad \mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{T\,m/A}$$

Besleme gerilimi \(U\) sabit; bu yüzden akım motorların verdiği gücü izliyor ve güç, kuvvet çarpı hız:

$$I = \frac{P}{U} = \frac{F\,v}{U}, \qquad F \approx m\,a \quad\Longrightarrow\quad B \;\propto\; a\,v$$

Çekişteki tipik tepe 158 µT — Dünya'nın alanının üç katından fazla. Kabloların \(r \approx 1\) m uzakta olduğu varsayılırsa (bir varsayım; gerçek geometri bilinmiyor) bu, şu mertebede bir akım:

$$I = \frac{2\pi\, r\, B}{\mu_0} \approx \frac{2\pi \times 1\ \mathrm{m} \times 158\ \mu\mathrm{T}}{4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{T\,m/A}} \approx 800\ \mathrm{A}$$

A ve B istasyonlarındaki iki duruş arasında motorların verdiği her şey, artı kaybedilen yükseklik, frenlerden ve dirençten çıkmak zorunda:

$$W_{\mathrm{brakes}} + W_{\mathrm{drag}} = W_{\mathrm{motors}} + m\,g\,(h_A - h_B)$$

En dik inişte yalnızca bu yükseklik trenin her kilogramı için 398 J. Eğim düzgünse çoğu son duruşa düşüyor; frenleme başladığı andaki hareket enerjisinin, \(\tfrac{1}{2}v^2\), üstüne.

Sürüş konforu ISO 2631-1'e göre: her eksen bir frekans ağırlığıyla süzülüyor — yatayda \(W_d\), dikeyde \(W_k\) — sonra birleştiriliyor:

$$a_w = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^{T} a_W^2(t)\,\mathrm{d}t}, \qquad a_v = \sqrt{a_{w,x}^2 + a_{w,y}^2 + a_{w,z}^2}$$